ΘΕΜΑ

Σε μια και μοναδική λύση , δρόμος πλάτους 8 μ , πρέπει να περάσει από κτήμα με ελιές , το οποίο είναι ορθογώνιο τετράπλευρο με διαστάσεις 150 μ * 80 μ ( εικόνα 1 ) , έτσι ώστε να το χωρίσει σε δύο ίσα τρίγωνα ( E1 , E2 ) . Να βρεθούν :

1. Το εμβαδόν του δρόμου Εδ 2. Τα εμβαδά των τριγώνων Ε1 , Ε2

εικόνα 1

ΛΥΣΗ

Έχει γίνει η αποτύπωση του κτήματος και πάνω στο σχέδιο θα χαράξουμε ( εικόνα 2 ) τη διαγώνιο ΒΓ ( Χ ) , η οποία θα αποτελέσει τον άξονα του δρόμου . Στην κατάλληλη κλίμακα , τέσσερα μέτρα αριστερά και δεξιά του άξονα ( αφού το πλάτος δρόμου είναι 8 μ ) , θα χαράξουμε δύο παράλληλες ευθείες ( Υ ) .

εικόνα 2

Θα υπολογίσω τη γωνία α . Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχω :

εφ α = ΑΒ / ΑΓ = 150 / 80 = 1.875 ⇒ α ≃ 61.93 °

Η γωνία β είναι :

εφ β = ΒΔ / ΓΔ = 80 / 150 = 0.533 ⇒ β ≃ 28.07 °

ή β = 90 - α = 90 - 61.93 = 28.07 °

Ο άξονας ΒΓ ( Χ ) έχει μήκος :

Χ ² = AB ² + AΓ ² = 150 ² + 80 ² = 22500 + 6400 ⇒ X = √ 28900 ⇒ X = 170 μ

Θα υπολογίσω το μήκος του τμήματος 4Γ ( το 4 στον αριθμητή του επόμενου τύπου , είναι το πλάτος του μισού δρόμου ) :

ημ α = 4 / ( 4Γ ) ⇒ ( 4Γ ) = 4 / ημ 61.93 ⇒ ( 4Γ ) ≃ 4.53 μ

Η γωνία ΑΒΓ ( στην κορυφή Β ) είναι β , ως εντός εναλλάξ με τη ΒΓΔ . Θα υπολογίσω το μήκος του τμήματος 1Β :

ημ β = 4 / ( 1Β ) ⇒ ( 1Β ) = 4 / ημ 28.07 ⇒ ( 1Β ) ≃ 8.50 μ

'Aρα το Υ έχει μήκος ( εφαρμογή Πυθαγορείου Θεωρήματος ) :

Υ ² = ( 150 - ( 1B ) ) ² + ( 80 - ( 4Γ ) ) ² ⇒ Υ ² = 141.5 ² + 75.47 ² ⇒

Υ ² = 20022.25 + 5695.72 ⇒ Y = √25717.97 ⇒ Y = 160.37 μ

Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν :

Ετρ1 = ( ΑΒ * ΑΓ ) / 2 = ( 150 * 80 ) / 2 = 12000 / 2 = 6000 μ ²

Δηλαδή το κτήμα είναι συνολικά , 12000 μ ² ή αλλιώς 12 στρέμματα . Το συνολικό εμβαδόν του , μπορεί να υπολογισθεί πιο απλά και απο τις δύο πλευρές του :

Ε = ( ΑΒ ) * ( ΒΔ ) = 150 * 80 = 12000 μ ²

Θα υπολογίσω το εμβαδόν Εδ1 του μισού δρόμου ( 1ΒΓ4 ) , το οποίο έχει σχήμα τραπέζιο ( Ε = ( Β + β ) / 2 * υ ) :

Εδ1 = ( ( Χ + Υ ) / 2 ) * 4 = ( ( 160.37 + 170 ) / 2 ) * 4 = ( 330.37 / 2 ) * 4 = 165.19 * 4 = 660.74 μ ²

Με τον ίδιο τρόπο , υπολογίζεται και το εμβαδόν Εδ2 του άλλου μισού του δρόμου . Και τελικά το συνολικό εμβαδόν Εδ του δρόμου είναι :

Εδ = Εδ1 + Εδ2 = 660.74 + 660.74 = 1321.48 μ ²

Αυτό που μένει στους ιδιοκτήτες , δηλαδή τα εμβαδά των τριγώνων Ε1 και Ε2 είναι :

Ε1 = Ετρ1 - Εδ1 = 6000 - 660.74 = 5339.26 μ ²

Ε2 = Ετρ2 - Εδ2 = 6000 - 660.74 = 5339.26 μ ²

Για επαλήθευση , προσθέτω τα Ε1 , Εδ , Ε2 , τα οποία πρέπει να μου δίνουν 12000 μ ² :

Ε = Ε1 + Εδ + Ε2 = 5339.26 + 1321.48 + 5339.26 = 12000 μ ²