1. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

Τα Ελάχιστα Τετράγωνα είναι μια μέθοδος για τη διευθέτηση παρατηρήσεων ( μετρήσεων ) , οι οποίες περιέχουν τυχαία σφάλματα .

Η ανακάλυψη των ηλεκτρονικών υπολογιστών , έκανε τη διαδικασία των μεγάλων μαθηματικών πράξεων πιο απλή , με συνέπεια να είναι πιο συχνή η χρήση τους .

2. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Σε ένα μεγάλο σύστημα , αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό εξισώσεων και το οποίο είναι ίσο με τον αριθμό των αγνώστων , μπορεί να γίνει εφαρμογή της μεθόδου για τον προσδιορισμό των τιμών τους .

'Οταν οι εξισώσεις είναι περισσότερες από τους αγνώστους , η μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων γίνεται χρησιμότερη .

Υπολογίζονται εκτός από τις πιο πιθανές τιμές των αγνώστων και οι τιμές των αντίστοιχων σφαλμάτων . Γενικά αποκαλύπτεται η παρουσία μεγάλων σφαλμάτων , που σημαίνει εσφαλμένες μετρήσεις .

3. ΙΣΟΒΑΡΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Για ισοβαρείς παρατηρήσεις ( μετρήσεις που γίνονται με ίδιο όργανο , ίδιο παρατηρητή και ίδιες εξωτερικές συνθήκες ) , η θεμελιώδης συνθήκη λέει ότι " το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων είναι ελάχιστο " και εκφράζεται με τον τύπο :

Σ( νι ) ² = ( ν1 ) ² + ( ν2 ) ² + ( ν3 ) ² +...+ ( νμ ) ² = ελάχιστο ι = 1 , 2 , 3 ... μ ν1 , ν2 , ν3 ... νμ = σφάλματα Σ ( νι ) ² = το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων

Εκτός από την απόδοση των πιο πιθανών τιμών για τους αγνώστους , η διευθέτηση με τα Ελάχιστα Τετράγωνα , αποκαλύπτει την παρουσία μεγάλων σφαλμάτων , έτσι ώστε να ληφθούν τα κατάλληλα βήματα για την εξάλειψή τους .

4. ΑΝΙΣΟΒΑΡΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Για ανισοβαρείς παρατηρήσεις ( χρήση διαφορετικών οργάνων , άλλοι παρατηρητές , διαφορετικές συνθήκες μετρήσεων ) , μπαίνει η έννοια του Βάρους των αντιστοίχων μετρήσεων και εκφράζεται με τον τύπο :

β ( ι ) = 1 / δ ( ι ) ² β ( ι ) = βάρος της αντίστοιχης παρατηρούμενης ποσότητας δ ( ι ) ² = είναι η τυπική απόκλιση ( δείτε σφαλματα μετρήσεων Μετάβαση σε ιστοσελίδα των Τοπογραφικών Θεμάτων )

H θεμελιώδης συνθήκη , σ' αυτήν την περίπτωση γράφεται ως εξής :

Σ β ( ι ) * ( νι ) ² = β ( 1 ) * ( ν1 ) ² + β ( 2 ) * ( ν2 ) ² + + β ( 3 ) * ( ν3 ) ² + ... + β ( μ ) * ( νμ ) ² = ελάχ.

5. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΙΣΟΒΑΡΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ

Ένας παρατηρητής μέτρησε επί εδάφους με μετροταινία , τις αποστάσεις ΑΒ = 3.5 μ , ΒΓ = 3.4 μ και ΑΓ = 7.0 μ . Όπως φαίνεται από το σχήμα , έχω τρεις εξισώσεις με δύο αγνώστους , χ και ψ .

χ + ψ = 7.0

χ = 3.5

ψ = 3.4

Είναι φανερό ότι οι μετρήσεις περιέχουν σφάλματα . Έτσι οι εξισώσεις μπορούν να ξαναγραφτούν , προσθέτωντας στην κάθε μία , τρία διαφορετικά υπολειμματικά σφάλματα .

χ + ψ = 7.0 + ν1

χ = 3.5 + ν2

ψ = 3.4 + ν3

Λύνω τις εξισώσεις ως προς τα σφάλματα ν1 , ν2 και ν3 και έχω :

ν1 = χ + ψ - 7.0

ν2 = χ - 3.5

ν3 = ψ - 3.4

Σύμφωνα με τη θεμελιώδη συνθήκη των Ελαχίστων Τετραγώνων , τα σφάλματα τετραγωνίζονται και προσθέτονται :

Σ ( νι ) ² = ( ν1 ) ² + ( ν2 ) ² + ( ν3 ) ² ⇒

Σ ( νι ) ² = ( χ + ψ - 7.0 ) ² + ( χ - 3.5 ) ² + ( ψ - 3.4 ) ²

Η παραπάνω συνάρτηση ελαχιστοποιείται , παίρνωντας τις Μερικές Παραγώγους των αντίστοιχων αγνώστων και θέτωντας τις ίσες με μηδέν .

∂ Σ ( νι ) ² / ∂ χ = 0 ⇒ ( χ + ψ - 7.0 ) ² + ( χ - 3.5 ) ² + ( ψ - 3.4 ) ² = 0

∂ Σ ( νι ) ² / ∂ ψ = 0 ⇒ ( χ + ψ - 7.0 ) ² + ( χ - 3.5 ) ² + ( ψ - 3.4 ) ² = 0

( έχω τις κανονικές εξισώσεις )

∂ Σ ( νι ) ² / ∂ χ = 0 ⇒ 2 * ( χ + ψ - 7.0 ) + 2 * ( χ - 3.5 ) = 0

∂ Σ ( νι ) ² / ∂ ψ = 0 ⇒ 2 * ( χ + ψ - 7.0 ) + 2 * ( ψ - 3.4 ) = 0

---

2 χ + 2 ψ - 14 + 2 χ - 7 = 0

2 χ + 2 ψ - 14 + 2 ψ - 6.8 = 0

---

4 χ + 2 ψ - 21 = 0

2 χ + 4 ψ - 20.8 = 0

---

4 χ + 2 ψ = 21

2 χ + 4 ψ = 20.8

---

( δια 2 ο κάθε όρος των εξισώσεων )

2 χ + ψ = 10.5

χ + 2 ψ = 10.4

---

( λύνω το σύστημα των 2 τελευταίων εξισώσεων και έχω )

χ + 2 ψ = 10.4 ⇒

χ = 10.4 - 2 ψ

---

2 χ + ψ = 10.5 ⇒

2 * ( 10.4 - 2 ψ ) + ψ = 10.5 ⇒

20.8 - 4 ψ + ψ = 10.5 ⇒

- 3 ψ = - 10.3 ⇒

ψ = 3.433

χ = 10.4 - 2 ψ ⇒

χ = 10.4 - 2 * 3.4333 ⇒

χ = 10.4 - 6.867 ⇒

χ = 3.533

Σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων , οι τιμές χ και ψ που υπολογίστηκαν είναι οι πιο πιθανές .

'Eχοντας τις πιο πιθανές τιμές , μπορούν να υπολογιστούν τα αντίστοιχα σφάλματα , με αντικατάσταση στις παρακάτω εξισώσεις ( ξαναγράφω ) :

ν1 = χ + ψ - 7.0 = 3.533 + 3.433 - 7 = - 0.033 ν2 = χ - 3.5 = 3.533 - 3.5 = + 0.033 ν3 = ψ - 3.4 = 3.433 - 3.4 = + 0.033

Το παράδειγμα είναι απλό , και δείχνει πώς χρησιμοποιείται η μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων χωρίς πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις .

6. ΣΥΣΤΗΜΑTA ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Με τον ίδιο τρόπο γίνεται η εφαρμογή της , σε μεγάλα συστήματα εξισώσεων .

Σ' αυτή την περίπτωση είναι προτιμότερη η τυποποίηση της όλης διαδικασίας , με τη χρήση πίνακα και το σχηματισμό των αντίστοιχων κανονικών εξισώσεων . Η όλη διαδικασία στηρίζεται σε σύστημα εξισώσεων με αυτήν τη μορφή :

α1Α + β1Β + γ1Γ +...+ μ1Μ - Κ1 = ν1 α2Α + β2Β + γ2Γ +...+ μ2Μ - Κ2 = ν2 ............. αιΑ + βιΒ + γιΓ +...+ μιΜ - Κι = νι , α1 , β1 , γ1 ... = Συντελεστές Α , Β , Γ ... = 'Aγνωστοι Κ1 , Κ2 , Κ3 ... = Σταθερές ν1 , ν2 , ν3 ... = Σφάλματα

Τετραγωνίζοντας τα σφάλματα και προσθέτωντας αυτά , σχηματίζεται η συνάρτηση Σ ( νι ) ² .

Στη συνέχεια παίρνωντας τις Μερικές Παραγώγους σε σχέση με τον κάθε άγνωστο Α , Β , Γ ... , έχω τις κανονικές εξισώσεις . Με την επεξεργασία αυτών , καταλήγω στο γενικό σύστημα που εκφράζει τις κανονικές εξισώσεις :

[ αα ] Α + [ αβ ] Β + [ αγ ] Γ + ... + [ αμ ] Μ = [ αΚ ] [ βα ] Α + [ ββ ] Β + [ βγ ] Γ + ... + [ βμ ] Μ = [ βΚ ] [ γα ] Α + [ γβ ] Β + [ γγ ] Γ + ... + [ γμ ] Μ = [ γΚ ] ............. [ μα ] Α + [ μβ ] Β + [ μγ ] Γ + ... + [ μμ ] Μ = [ μΚ ] , [ ] = σύμβολα που σημαίνουν άθροισμα του περιεχομένου τους

Στο παράδειγμά μου , οι εξισώσεις έχουν τη μορφή :

α * χ + β * ψ = Κ , α , β = συντελεστές χ , ψ = άγνωστοι ( αντί Α , Β ) Κ = σταθερά

Ο πίνακας που δημιουργείται είναι :

ΑΡ.ΕΞΙΣ.	α	β	Κ	αα	αβ	ββ	αΚ	βΚ
1	1	1	7.0	1	1	1	7.0	7.0
2	1	0	3.5	1	0	0	3.5	0
3	0	1	3.4	0	0	1	0	3.4
				2	1	2	10.5	10.4
				[ αα ]	[ αβ ]	[ ββ ]	[ αΚ ]	[ βΚ ]

ΑΡ.ΕΞΙΣ. = Ο αντίστοιχος αριθμός της εξίσωσης α , β = οι αντίστοιχοι συντελεστές των χ , ψ Κ = Σταθερά αα = πολλαπλασιασμός του α με τον α αβ = πολλαπλασιασμός του α με το β ββ = πολλαπλασιασμός του β με το β αΚ = πολλαπλασιασμός του α με τον Κ βΚ = πολλαπλασιασμός του β με τον Κ [ αα ] = το άθροισμα της στήλης αα [ αβ ] = το άθροισμα της στήλης αβ [ ββ ] = το άθροισμα της στήλης ββ [ αΚ ] = το άθροισμα της στήλης αΚ [ βΚ ] = το άθροισμα της στήλης βΚ

Έτσι καταλήγω στις αντίστοιχες κανονικές εξισώσεις :

[ αα ] χ + [ αβ ] ψ = [ αΚ ] ⇒

[ αβ ] χ + [ ββ ] ψ = [ βΚ ] ⇒

2 χ + ψ = 10.5

χ + 2 ψ = 10.4

7. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 1ης ΤΑΞΕΩΣ

Πώς χρησιμοποιώ τη Μερική Παράγωγο 1ης τάξεως :

Παράδειγμα :

Η συνάρτησή μου είναι :

f ( χ , ψ ) = χ ² + χ ψ + ψ ²

Η παράγωγός της ως προς χ , δίνει :

∂ f / ∂ χ = 2 χ + χ ψ + 2 ψ = 2 χ + ψ + 0 = 2 χ + ψ

Η παράγωγός της ως προς ψ , δίνει :

∂ f / ∂ ψ = 2 χ + χ ψ + 2 ψ = 0 + χ + 2 ψ = χ + 2 ψ